Exercício envolvendo Circunferências

Geometria Analítica - Exercícios envolvendo Circunferências.


01) (Ufal) São dados os pontos A(0;0), B(2;4) e C(6;2) e uma circunferência de raio 1 e  equação x²+y²-16x+my+n=0.
Se o centro da circunferência, o ponto A e o ponto médio do segmento  estão alinhados, então o valor de n é:


a)100            b) 99           c)64           d)36            e)28

Resolução:

Temos que a equação reduzida desta circunferência é (x-a)²+(y-b)² = 1, onde (a,b) são as coordenadas do centro da circunferência. Desta forma obtemos a equação normal da circunferência:

Porém, a equação dada é :

Então, comparando as equações (1) e (2) concluímos que m = B e n = C.

Sabemos, ainda,  que na equação (1)

Assim as coordenadas do centro da circunferência serão:

Como o problema nos informa que o centro da circunferência, O(8;-m/2) , o ponto A e o ponto médio do segmento  estão alinhados, daremos os seguintes passos pára encontrar o valor de n:

(i) Encontrar o ponto médio M de ;

(ii) Encontrar a equação da reta s passando pelos pontos M e A;

(iii) Aplicar o ponto O  na equação da reta s para e encontrarmos o valor de m ;

(iv) Encontrar o valor de n usando a equação do raio dada acima.

(i) Ponto médio de :

Temos que B(2;4) e C(6;2) e as coordenadas do ponto médio são dadas por:

(ii) a equação da reta s passando pelos pontos M(4;3) e A(0;0) é  s: y=mx+b onde

Logo, 

Aplicando no ponto A(0;0) temos que q=0, desta forma,

(iii) Aplicando o ponto O na equação da reta s:

Assim, chegamos ao ponto O(8,6) e já podemos esboçar o gráfico com os pontoa A, O e M alinhados:

(iv) Encontrando o valor de n:

Vimos comparando as equações (1) x²+y²+Ax+By+C=0  e  (2) x²+y²-16x+my+n=0  que n = C, e, Temos ainda que 

Ora, já conhecemos o valos de a e de B, bem como o problema nos informa o valor de r, raio igual a 1, logo, temos condições de encontrar o valor de n = C, assim, para a =8, b = 6 e r = 1 teremos,

Resposta : b